\section[保守力]{\makebox[5em][s]{保守力}}\label{sec:06.04}

我们已经证明在引力作用下，质点的运动遵守下列形式的能
量守恒：
\begin{equation}\label{eqn:06.04.01}
  T + V = \text{不变量}
\end{equation}
现在我们一般地来讨论在什么条件下上式成立或不成立，即满足
上式的运动应有什么性质。

我们曾指出，一般说来，作功是与路径有关的。因为从功的
定义$ A = T _ { 2 } - T _ { 1 } $，一般并不能推出式 \eqref{eqn:06.04.01}。在引力情况，由于
有
\begin{equation}\label{eqn:06.04.02}
  A = V _ { 1 } - V _ { 2 }
\end{equation}
所以式\eqref{eqn:06.04.01}才成立。式\eqref{eqn:06.04.02}正是表示引力作功与路径无
关。

如果有摩擦力，情况就完全不同。我们来讨论图6.11的固定
斜面，设各面的摩擦系数均为$ \mu $。若质点沿$ 1 \to 2 $自由下落，则质点
只受重力作用，重力作功为
\begin{figure}[h]
  \centering
  \includegraphics{figure/fig06.11}
  \caption{有摩擦力情况的作功}
  \label{fig:06.11}
\end{figure}
% 180.jpg
\clearpage\mbox{}\vspace{-1em}
\begin{equation*}
  A _ { \text{重} _ { 1 \to 2 } } = m g \left| Z _ { 2 } - Z _ { 1 } \right|
\end{equation*}
而摩擦力作功为零，即
\begin{equation*}
  A _ { \text{摩} _ { 1 \to 2 } } = 0
\end{equation*}
质点沿$ 1 \to 3 $下滑，则位移大小为$ \dfrac { \left| Z _ { 2 } - Z _ { 1 } \right| } { \cos \theta } $重力作功为
\begin{equation*}
  \begin{aligned}
    A _ { \text{重} _ { 1 \to 2 } } & = m g \frac { \left| Z _ { 2 } - Z _ { 1 } \right| } { \cos \theta } \cos \theta \\
                                   & = m g \left| Z _ { 2 } - Z _ { 1 } \right|
  \end{aligned}
\end{equation*}\label{err:06.04.01}
而摩擦力大小为$ \mu m g \sin \theta $，摩擦力与位移的夹角是$ 180 ^ { \circ } $，所以摩擦
力作功为
\begin{equation*}
  \begin{aligned}
    A _ { \text{摩} _ { 1 \to 3 } } & = \mu m g \sin \theta \frac { \left| Z _ { 2 } - Z _ { 1 } \right| } { \cos \theta } \cos 180 ^ { \circ } \\
                                   & = - \mu m g \left| Z _ { 2 } - Z _ { 1 } \right| \tg \theta
  \end{aligned}
\end{equation*}
质点再从3到2，位移大小为$ \left| Z _ { 2 } - Z _ { 1 } \right| \tg \theta $，重力不作功，而摩擦力
作功为
\begin{equation*}
  A _ { \text{摩} _ { 3 \to 2 } } = - \mu m g \left| Z _ { 2 } - Z _ { 1 } \right| \tg \theta
\end{equation*}
故
\begin{equation*}
  A _ { \text{重} _ { 1 \to 3 } } + A _ { \text{重} _ { 3 \to 2 } } = A _ { \text{重} _ { 1 \to 2 } }
\end{equation*}
\begin{equation}\label{eqn:06.04.03}
  \begin{aligned}
    A _ { \text{摩} _ { 1 \to 3 } } + A _ { \text{摩} _ { 3 \to 2 } } & = - 2 \mu m g \left| Z _ { 2 } - Z _ { 1 } \right| \tg \theta \\
                                                                    & \neq A _ { \text{摩} _ { 1 \to 2 } }
  \end{aligned}
\end{equation}
因此，重力作功与路径无关，而摩擦力作功与路径有关。对上述
问题，“与路径有关”就表现在式\eqref{eqn:06.04.03}中含有$ \theta $，$ \theta $不是初始点
的性质，也不是终止点的性质，而是路径的性质，表示了路径的
形式。

这样，我们可以把自然界中的力分成两大类，一类力作的功
% 181.jpg
\clearpage
\noindent 只与路径的始末点有关，而与路径的具体形式无关，我们称之为
保守力；另一类则与路径的形式有关，称之为非保守力。从上述
讨论中我们可知，重力和引力都是保守力，摩擦力是一种非保守
力。

对于保守力，我们可以定义一个空间函数，即
\begin{equation}\label{eqn:06.04.04}
  V \left( \vec{ r } _ { b } \right) = V _ { a } - A _ { a \to b }
\end{equation}
式中$ V _ { a } $是我们在$ a $处任意选定的一个数；$ A _ { a \to b } $是由$ a $到$ b $时保守
力作的功。因为$ A _ { a \to b } $只与$ a , b $位置有关，而与路径形式无关，
所以$ V \left( \vec{ r } _ { b } \right) $只是位置$ \vec{ r } _ { b } $的函数，我们称$ V \left( \vec{ r } _ { b } \right) $为该保守力的势能函
数。

对于非保守力，虽然形式上也可写成
\begin{equation*}
  V \left( \vec{ r } _ { b } \right) = V _ { a } - A _ { a \to b }
\end{equation*}
但因为$ A _ { a \to b } $不仅和$ \vec{ r } _ { b } $有关，而且与路径有关，对于多种路径，$ A _ { a \to b } $
有多种可能值，所以对同一个$ \vec{ r } _ { b } $，$ V \left( \vec{ r } _ { b } \right) $也有多种可能值，因此
它并不是位置的函数，也就不能应用势能概念。

我们可以把式\eqref{eqn:06.04.04}改写为
\begin{equation}\label{eqn:06.04.05}
  A _ { a \to b } = V _ { a } - V _ { b }
\end{equation}
式中$ V _ { b } = V \left( \vec{ r } _ { b } \right) $，$ V _ { a } = V \left( \vec{ r } _ { a } \right) $，分别表示$ a $，$ b $点的势能，再根据功
的定义
\begin{equation}\label{eqn:06.04.06}
  A _ { a \to b } = T _ { b } - T _ { a }
\end{equation}
就得到
\begin{equation}\label{eqn:06.04.07}
  T _ { a } + V _ { a } = T _ { b } + V _ { b } = \text{不变量}
\end{equation}
这样，我们就证明了，如果质点只受保守力作用，质点的运动就
遵从机械能守恒\lhbrak 式\eqref{eqn:06.04.01} \rhbrak 。

% 182.jpg
\clearpage
反过来，如果一个体系的运动遵守式\eqref{eqn:06.04.01}，即
\begin{align*}
                  & T _ { a } + V _ { a } = T _ { b } + V _ { b } \\
  \beforetext{则有} & T _ { b } - T _ { a } = V _ { a } - V _ { b }
\end{align*}
再由功的定义
\begin{align*}
                   & A _ { a \to b } = T _ { b } - T _ { a } \\
  \beforetext{就得到} & A _ { a \to b } = V _ { a } - V _ { b }
\end{align*}
这就是说，在这种情况下作功仅与始末点有关，而与路径无关，
故力是保守力。

总之，式\eqref{eqn:06.04.01}成立或势能概念适用的充要条件，是体系中
只存在保守力的作用。
